24-06: מלאכת קושר בעין מתמטית

  • רונן כץ

 

כידוע, אחת המלאכות האסורות בשבת היא מלאכת קושר. בהנחה שהמכנה המשותף לרוב המלאכות האסורות בשבת הוא היותן מלאכות יצירה, אפשר לומר שהתורה אוסרת ליצור קשר בשבת. התלמוד והפוסקים דנו באריכות במאפיינים השונים של הקשר הנדרשים כדי להתחייב על יצירתו – קשר של קיימא, קשר של אומן, קשר שניתן להתירו ביד אחת ועוד. אך קודם לדיונים האלה יש לדון בשאלה בסיסית יותר: מהו קשר?

במאמר זה נתאר את הכלים המתמטיים המאפשרים להגדיר מהו קשר, לקבוע מה נחשב קשר ומה אינו קשר ולהבחין בין סוגים שונים של קשרים. כפי שנראה, הגדרות אלו עשויות לשפוך אור על כמה הלכות במלאכת קושר.

 

הגדרת קשר

באופן בסיסי, כל קשר מורכב משני חוטים המושחלים זה בזה באופן שגורם להם להתחבר. לצורך הדיון נניח שלשני החוטים יש מקור משותף, כפי שקורה למשל בשרוך של נעל, שבו שני החוטים הם למעשה שני הקצוות של אותו השרוך.

 

הקשר שבו אנו נתקלים בתדירות הגבוהה ביותר בחיי היום-יום הוא קשר הנעליים. קשירתו מתבצעת בשני שלבים. השלב הראשון הוא קשר פשוט, המכונה גם קשר תלתן (trefoil knot), והשלב השני הוא קשר פרפר המורכב משתי לולאות. אנשים שונים עשויים לקשור את קשר הנעליים בצורות שונות, אך עדיין ברור לכולנו שמדובר באותו הקשר. במובן מסוים כל שני קשרי נעליים שקולים זה לזה על אף ההבדלים ביניהם. מהו המכנה המשותף לכל הקשרים האלה?

בתורת הגיאומטריה קיימות הגדרות המאפשרות לקבוע מתי שתי צורות שקולות זו לזו. למשל, שני משולשים נקראים חופפים אם קיים שוויון בין אורכי הצלעות וגודלי הזוויות שלהם. בדומה לכך, שני משולשים נקראים דומים אם היחסים בין אורכי הצלעות במשולש האחד שווים ליחסים בין אורכי הצלעות במשולש השני.

 

הגדרות אלו נוקשות למדיי, ואי אפשר להיעזר בהן להגדרת שקילות בין קשרים. שני קשרי נעליים יכולים להיבדל זה מזה במאפיינים רבים: בגודל של כל אחת מהלולאות, בכיוון שאליו הן פונות, במיקום של קשר הפרפר ביחס לקשר התלתן, באורך השרוך שנותר מחוץ ללולאות ועוד. שני קשרים כמעט לעולם לא יהיו חופפים זה לזה, ואף לא דומים. מהי אם כן הדרך הנכונה להגדיר את השקילות ביניהם?

 

נראה שהמסגרת המתמטית המתאימה לדון בשאלה זו היא הטופולוגיה. טופולוגיה היא תחום מתמטי העוסק בגופים ובצורות גיאומטריות מבלי להתעניין בממדים ובצורה המדויקת שלהם. אפשר לקחת גוף מסוים, למתוח אותו מכיוון אחד, לכווץ אותו מכיוון אחר ולעקם אותו במקומות שונים, ועדיין מבחינה טופולוגית הוא יישאר אותו הגוף. כל עוד השינויים שומרים על הרצף של הגוף, כלומר כל עוד איננו חותכים או מדביקים אותו הגוף נחשב לאותה ישות בעיניים טופולוגיות.

 

אחת הדוגמאות הידועות להמחשת מושג השקילות הטופולוגית היא ספל הקפה והדונאט. בעזרת סדרה של שינויי צורה אפשר להפוך ספל קפה לדונאט, כפי שרואים בתמונות שלהלן. דרך המשקפיים הטופולוגיים שני הגופים הללו זהים ושניהם נכנסים תחת הכותרת המשותפת: "גוף תלת ממדי עם חור אחד באמצעו".

 

נראה אם כן שהטופולוגיה היא התחום המתאים לעסוק בהגדרת שקילות בין קשרים. ואכן, ענף שלם בטופולוגיה עוסק בקשרים ובסיווגם – תורת הקשרים. ההגדרה המקובלת לשקילות בין קשרים במסגרת הטופולוגיה קובעת: שני קשרים שקולים זה לזה אם אפשר לעבור מאחד לשני על ידי סדרה של הזזות, מתיחות וכיווצים, מבלי לקרוע או להדביק את החוט.[1]

 

הגדרה זו נתקלת בבעיה טכנית קלה. אם ננסה ליישם אותה כמות שהיא בקשרים שאנו נתקלים בהם בחיינו, נגלה שכל שני קשרים שאי פעם קשרנו שקולים זה לזה, שהרי תמיד קיימת סדרה פשוטה של הזזות המובילה מהקשר הראשון לקשר השני: צריך רק להתיר את הקשר הראשון, ואז לקשור את הקשר השני. לפיכך, כדי שההגדרה תהיה בעלת משמעות, עלינו לדמיין ששני הקצוות של השרוך הודבקו זה לזה לאחר סיום הקשירה. שני קשרים נחשבים שקולים אם אפשר לעבור מן האחד לשני מבלי להפריד את ההדבקה שבין שני קצות השרוך. משום כך בתורת הקשרים ההגדרה של קשר איננה שני קצוות של חוט המושחלים זה דרך זה, אלא לולאה סגורה המסובכת בעצמה באופן מסוים.

 

הגדרה זו מאפשרת לסווג את הקשרים לקטגוריות שונות, המכונות בשפה המתמטית מחלקות שקילות. בהינתן שני קשרים תמיד נוכל לשאול אם אלה שתי וריאציות של אותו הקשר או שאלו קשרים מסוגים שונים – ממחלקות שקילות שונות.

 

מחלקת שקילות מיוחדת במינה היא המחלקה של הלולאה הפשוטה – ה"לא-קשר" (the unknot). אם לא נשחיל כלל את הקצוות של השרוך אחד דרך השני אלא רק נדביק אותם זה לזה, נקבל לולאה פשוטה, שוודאי אינה ראויה להיקרא קשר. ייתכנו מצבים שבהם השרוך מסובך סביב עצמו בצורה הנראית כקשר, אך לאחר סדרה של הזזות ומתיחות אפשר להגיע ללולאה פשוטה מבלי להפריד בין הקצוות הדבוקים.

 

נתבונן לדוגמה בקשרים הבאים:

הקשר הימני והקשר השמאלי נראים דומים, אולם בדיקה מדוקדקת תגלה שהקשר הימני איננו קשר כלל. אפשר להתירו מבלי לחתוך את השרוך בשום מקום, ולכן הוא שקול ללולאה הפשוטה הנמצאת במרכז. הקשר השמאלי הוא היחיד מן השלושה הראוי לשם "קשר" (למעשה הוא שקול לקשר הנעליים שבו עסקנו לעיל).

 

קשר עניבה

על רקע הבסיס המתמטי שהצגנו נעבור לדון בסוגיות העוסקות במלאכת קושר. התַנאים נחלקו בברייתא במסכת שבת (קיג, ע"א) אם מותר לקשור בשבת קשר עניבה. לדעת חכמים מותר, ואילו רבי יהודה אוסר. קשר עניבה הוא קשר העשוי מלולאה, בדומה לצד אחד של קשר הפרפר שהזכרנו לעיל.

מהו הנימוק להיתר של קשר עניבה בשבת? הסבר אפשרי אחד נמצא במשנה בתחילת אותו הפרק (קיא, ע"ב). רבי מאיר קובע שם: "כל קשר שהוא יכול להתירו באחת מידיו – אין חייבין עליו". נימוק זה עשוי להסביר גם את ההיתר בקשר עניבה: קל מאוד להתירו, אפילו ביד אחת. לכן הוא נחשב קשר שאין לו קיום, ואין איסור לקשור אותו בשבת.

הגמרא שם מסתפקת מה דעתו של רבי מאיר בקשר עניבה. לפי אפשרות אחת, רבי מאיר, המקל בקשר שאפשר להתירו ביד אחת, מקל גם בקשר עניבה. לפי אפשרות זו מסתבר שההיתר של קשר עניבה אכן מבוסס על כך שקל להתירו, כפי שביארנו. לפי האפשרות השנייה, רבי מאיר אוסר לקשור קשר עניבה. הקשרים שהתיר הם קשרים רפויים, שאפשר להתיר אותם ביד אחת בגלל הרפיון שלהם. קשר עניבה אמנם אפשר להתיר בקלות, אך כל עוד לא התירו אותו הוא חזק ומהודק, ולכן אין היתר לעשותו.

מדברי הגמרא נראה שקשר עניבה מהודק חמור יותר מקשר רפוי שאפשר להתירו ביד אחת. לפיכך חכמים החולקים על רבי יהודה ומתירים לקשור קשר עניבה, ודאי יודו לרבי מאיר שאין איסור בקשר רפוי. כך אמנם סבר הריטב"א (קיא, ע"ב ד"ה בעי רב אחדבוי), המבאר שאין כלל מחלוקת בין חכמים לרבי מאיר, ולמעשה רבי מאיר בא לפרש את שיטתם. אולם ההבנה הפשוטה במשנה היא שרבי מאיר בא לחלוק על חכמים, וכך הבינו גם הרמב"ם והרב עובדיה מברטנורא בפירושם למשנה (עיין גם בה"ל בתחילת סי' שיז).

לפי שיטתם, כיצד ייתכן שחכמים אוסרים לקשור קשר רפוי בשבת, ואף על פי כן מתירים קשר עניבה, אפילו כאשר הוא מהודק?

הרב ברוך גיגי עסק בשאלה זו במאמרו בעניין קשר עניבה (דף קשר 590). הוא מסביר שההיתר בקשר עניבה אינו נובע מהיכולת להתירו בקלות, אלא קיים מאפיין מהותי יותר של הקשר שהוא הבסיס להיתר: כיוון שהמפתח להתרת הקשר נמצא כבר בעשייתו ו"חורבנו נמצא בבניינו", הרי הקשר כאילו מותר ועומד, וכאילו אין כאן קשר כלל.

 

דבריו של הרב גיגי מסתברים, אך לא ברור מהם מהי ההגדרה המדויקת של קשר עניבה. בהגיע לפנינו קשר, כיצד נדע אם המפתח להתרתו נמצא בקשירתו או לא? בחינת הדברים על רקע הבסיס המתמטי מספקת תשובה פשוטה לשאלה זו: קשר הוא קשר עניבה אם הוא שייך למחלקת השקילות של ה"לא-קשר". קיים גם מבחן מעשי המאפשר לבדוק את מעמדו של כל קשר: קשר עניבה הוא קשר שגם אם נדביק את שני קצותיו עדיין נוכל להתירו.[2]

 

לפי הבנה זו סברת חכמים היא פשוטה, וכמעט מובנת מאליה: אסור לקשור קשר רפוי בשבת, כיוון שזהו על כל פנים קשר. לעומת זאת אין כל איסור בקשר עניבה, כיוון שהוא כלל אינו קשר, אלא רק חוט המסובך סביב עצמו ויוצר אשליה של קשר. סדרה של הזזות פשוטות תחשוף את האמת ותגלה שאין כאן כל קשר, ולכן אין בסיס לאיסור. רבי יהודה, החולק על חכמים, סובר כנראה שאין כלל צורך ביצירה של קשר כדי לאסור, אלא האיסור הוא על כל השחלה של שני קצות החוט הגורמת להם להתחבר זה לזה בפועל.

 

קשר עניבה על גבי קשר

השולחן ערוך פוסק שקשר עניבה איננו קשר (שי"ז סעיף ה). הרמ"א שם מעיר: "ואפילו אם עשה קשר אחד למטה נוהגין בו היתר". נראה שהרמ"א מתייחס לקשר הדומה לקשר הנעליים שלנו: קשר פשוט בשלב ראשון, ועל גביו קשר עניבה העשוי מלולאה אחת או שתיים.

האחרונים סברו שאין מקום להתיר קשר עניבה על גבי קשר רגיל, אלא אם כן קיים גורם נוסף להתיר – כאשר כוונתו של הקושר להתיר את הקשר בו ביום. במקרה כזה הקשר מוגדר קשר שאינו של קיימא ומותר לקשרו, כפי שנראה להלן. אם הקשר עשוי לזמן רב יותר, כפי שעשוי לקרות למשל בקשירה של ספר תורה בתפילת מנחה בשבת, אין היתר לקשור קשר עניבה על גבי קשר רגיל.

 

על פי שיטתנו אפשר להסביר את יסוד מחלוקת הפוסקים הזו. קשר התלתן הפשוט הוא אמנם קשר לכל דבר, ואין סיבה עקרונית שלא ייאסר. אולם בפועל קשר כזה אינו מחזיק מעמד, ולכן אין בו איסור.[3] כאשר מוסיפים על גביו קשר עניבה, התוספת מאפשרת לקשר התלתן המקורי להתקיים. לפיכך, לדעת האחרונים, במקרה כזה יש איסור בקשר המקורי, אף על פי שמה שמחזיק אותו הוא עניבה שאיננה קשר מצד עצמה. הרמ"א אולי סובר שכיוון שכל העמידה של קשר התלתן מתבססת על עניבה, שהיא עצמה כלל איננה קשר, אי אפשר לאסור את הקשר הראשון, שמצד עצמו אין לו עמידה.

 

קשר של אומן

בהמשך הסוגיה הנ"ל במסכת שבת (קיא, ע"ב) מבואר שקיימות דרגות שונות של חיוב על קשירה בשבת. ישנם קשרים שמתחייבים עליהם מדאורייתא, ישנם קשרים שאין עליהם חיוב מדאורייתא אך קשירתם אסורה מדרבנן, וישנם קשרים שמותר לעשותם לכתחילה. הקריטריון היחיד המפורש בגמרא לחילוק בין סוגי קשרים הוא משך הזמן שהתכוון הקושר שהקשר יתקיים בו. אם כוונתו של הקושר הייתה שהקשר יתקיים לזמן רב – זהו קשר של קיימא וקשירתו אסורה. אם כוונתו הייתה שהקשר יתקיים לזמן קצר בלבד – זהו קשר שאינו של קיימא וקשירתו מותרת.

 

לדעת רש"י בסוגיה והרא"ש (סי' א), משך הזמן שבו אמור הקשר להתקיים הוא הקריטריון היחיד המבדיל בין רמות החיוב השונות. רמת החיוב במלאכת קושר גדלה ככל שמשך הזמן שאליו התכוון הקושר ממושך יותר.[4]

הרי"ף (מא, ע"ב) והרמב"ם (הלכות שבת י, א) סברו שקיים קריטריון נוסף לקביעת רמת החיוב. כדי להתחייב מדאורייתא לא די שהקשר יהיה קשר של קיימא, אלא הוא צריך להיות גם קשר של אומן. כך נפסק להלכה גם בשולחן ערוך (או"ח שיז, א).

הרי"ף והרמב"ם אינם מבארים מהי הגדרת קשר של אומן. השלטי גיבורים על הרי"ף שם (מא, ע"א ג) כותב שלא נתברר מהו קשר של אומן, אך נראה שהכוונה לקשר חזק שקושרים אותו הדק היטב. מתוך כך התקבל להלכה שיש לחשוש שכל קשר חזק הוא קשר של אומן, אפילו אם הוא קשר פשוט שקשירתו אינה דורשת כל מיומנות, כגון הקושר שני קשרי תלתן פשוטים זה על גבי זה (או אפילו אחד, אם הוא בראש חוט בודד).

 

ערוך השולחן (שיז, י) תמה על ההבנה שכל קשר חזק הוא קשר של אומן. לדעתו, קשר של אומן הוא קשר "שבעצם עשיית הקשר יש איזה אומנות שאין ההדיוט יכול לעשותו". שאר הפוסקים כנראה לא הבינו איזו אומנות יכולה להיות בעשייה של קשר מלבד היכולת לקשור אותו בצורה חזקה. ייעודו של הקשר הוא לחבר בין שני חוטים, ולכן האומנות שביצירתו ממוקדת בהשגת התכלית הזו בצורה הטובה ביותר, על ידי יצירת קשר חזק.

מתוך היכרות עם תורת הקשרים המתמטית, מסתבר יותר לקבל את שיטתו של ערוך השולחן. קשר איננו רק אמצעי לחיבור חוטים. קשר הוא אובייקט בעל קיום עצמאי, המכיל בתוכו מורכבות מתמטית ואף יופי אסתטי. יצירה של קשר דורשת ידע ומיומנות, גם כאשר הוא עשוי בצורה רפויה.

 

לסיום נביא כמה דוגמאות מתוך טבלת הקשרים של רולפסן.[5] קשרים אלו אמנם רפויים, וכנראה לא יהיו מועילים מאוד לחיבור בין עצמים שונים. אך האם אפשר להכחיש שכל אחד מהם הוא מעשה אומנות?

            

 

 

 

[1].   לצורך הדיוק הפורמלי נעיר ששקילות בין קשרים איננה זהה לשקילות טופולוגית רגילה. שקילות בין קשרים לוקחת בחשבון גם את האופן שבו הקשר שוכן בתוך המרחב, וההזזה של הקשר מתבצעת יחד עם המרחב שסביבו. זאת לעומת שקילות טופולוגית רגילה, המתחשבת רק באובייקט עצמו.

[2].   המבחן שהצגנו אמנם מעשי, אך הוא אינו מבטיח הכרעה ברורה. גם אם נשב זמן רב וננסה להתיר את הקשר ללא הצלחה, עדיין אי אפשר לקבוע בוודאות אם זהו קשר שאין לו התרה, או שיש דרך להתיר את הקשר ורק אנחנו עדיין לא מצאנו אותה.

[3].   אלא אם כן הוא עשוי על פני חוט אחד ולא כדי לחבר שני קצוות שונים, שאז הוא מחזיק מעמד ויש איסור בעשייתו.

[4].   בהגדרות המדויקות של משך הזמן הנדרש בכל אחת מרמות החיוב דנו הפוסקים באריכות, ואין כאן המקום לדיון זה.

[5].   Dale Rolfsen, Knots and Links, Tokyo 1976 .